Tarjan 算法

一.算法简介

Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法，它能做到线性时间的复杂度。

 

我们定义：

如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

例如：在上图中，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　,  { 6 } 三个区域可以相互连通，称为这个图的强连通分量。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

再Tarjan算法中，有如下定义。

DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)

LOW[ i ] : 为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号

当DFN[ i ]==LOW[ i ]时，为i或i的子树可以构成一个强连通分量。

 

二.算法图示

以1为Tarjan 算法的起始点，如图

顺次DFS搜到节点6

 回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] ,  LOW[ 6 ]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通分量。回溯至3节点，拓展节点4.

拓展节点1 ， 发现1再栈中更新LOW[ 4 ]，LOW[ 3 ] 的值为1

 回溯节点1，拓展节点2

自此，Tarjan Algorithm 结束，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　,  { 6 } 为图中的三个强连通分量。

不难发现，Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).

三.算法模板

#include 
    
     #define INF 0x3f3f3f3f#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))using namespace std;typedef long long ll;const double pi = acos(-1.0);const int mod = 1e9 + 7;const int maxn = 1e5 + 5;const int V = 150, E = 100500;struct Edge {    int to, next;} edge[E];int head[V], num;   //记录树的结构int idx;    // 记录时间戳int top, S[V];  //记录堆栈int indeg[V], outdeg[V];    //记录入度、出度int low[V], dfn[V];     //low记录能追溯到最前面的点，dfn记录dfs序int belong[V], scc; //Belong[i] = a; 表示i这个点属于第a个连通分量 scc为连通分量个数bool vis[V];    //标记是否进栈int n;int addedge(int u, int v){    edge[num].to = v;    edge[num].next = head[u];    head[u] = num++;}void tarjan(int u){    int v;    dfn[u] = low[u] = ++idx;    S[top++] = u;    vis[u] = 1;    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)    {        v = edge[i].to;        if (dfn[v] == 0) //v还未遍历        {            tarjan(v);            low[u] = min(low[u], low[v]); //确保low[u]最小        }        else if (vis[v]) //如果在堆栈中        {            low[u] = min(low[u], dfn[v]);        }    }    if (dfn[u] == low[u]) //表示找完一个连通分量    {        ++scc;        do        {            v = S[--top];            vis[v] = 0;            belong[v] = scc;        } while (u != v);    }}int solve(){    scc = top = idx = 0;    ms(dfn, 0);    ms(vis, 0);    for (int u = 1; u <= n; u++)    {        if (dfn[u] == 0)        {            tarjan(u);        }    }    return scc;}void count_deg(){    ms(indeg, 0);    ms(outdeg, 0);    for (int u = 1; u <= n; u++)    {        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)        {            int v = edge[i].to;            if (belong[u] != belong[v])            {                indeg[belong[v]]++;     //v所在的连通块入度++                outdeg[belong[u]]++;    //u所在的连通块出度++            }        }    }}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    while (~scanf("%d", &n))    {
    

num=0;        ms(head, -1);        for (int u = 1; u <= n; u++)        {            int v;            while (~scanf("%d", &v) && v)            {                addedge(u, v);            }        }        solve();        if (scc == 1)        {            printf("1\n0\n");        }        else        {            count_deg();            int num_in = 0, num_out = 0;            for (int i = 1; i <= scc; i++)            {                if (indeg[i] == 0)                    num_in++;                if (outdeg[i] == 0)                    num_out++;            }            printf("%d\n%d\n", num_in, max(num_in, num_out));        }    }    return 0;}

转自：http://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html